研究一个流形的谱是黎曼几何的一个基本问题。对于紧致黎曼流形来说， 所有的谱都是点谱，即拉普拉斯算子的所有的谱都是那些重数为有限的特征值组成。对于完备非紧流形来说，情况要复杂的多。一般说来，谱可以由两部分组成：点谱和本性谱。对于一大类完备非紧流形来说，点谱的集合是一个空集。例如，n 维欧氏空间的点谱集就是一个空集。

在介观物理的研究中， 人们提出了量子层的概念。量子层是一种带边的完备非紧流形。它的定义如下：

假设 Σ 是一个三维空间的一个完备非紧的嵌入曲面。我们假设 Σ 的第二基本形式在无穷远处趋向于零。假设 a 是一个很小的正数。则我们定义量子层 Ω 为三维欧氏空间中到 Σ 距离不大于 a 的点的集合。

Ω 是一个带边的完备非紧的黎曼流形。当考虑关于 Ω 的迪里希里边值条件的拉普拉斯算子的谱的时候，我们惊讶地发现，对于很大一类曲面，点谱的集合非空［1］。不仅如此，在这些情况下，基态是存在的。显然，这些结果在物理上是很有用的。

让我们现在回到数学。由 Duclos, Exner, Krejcirik［1］等人的工作，我们提出了下列量子层猜想：

假设 Σ 是一个三维空间的一个完备非紧的嵌入曲面，在无穷远处第二基本形式趋向于零。假设 Ω 是用 Σ 定义的量子层。假设 K 是 Σ 的高斯曲率。如果

   

则 Ω 的基态存在。

在［1］中，上述猜想在总曲率

的情况下被证明了。所以我们现在只要证明正总曲率的情形就可以了。有趣的是，在总曲率为正的情况下，Σ 的拓扑很简单：它微分同胚于平面。但这个情形却是最困难的情形。在这种情况下，我们需要了解 Σ 在无穷远处的渐近性质。但是，对于非紧完备曲面，除了极小曲面以外，我们对它们在无穷远处的渐近性质 所知甚少。

在［2］中，当 Σ 是一个凸曲面的时候，量子层猜想得到了证实。在［3］中，我们给出了进一步的结果。我们现在的结果离证明量子层猜想已经不远了。

关于这个方向的最新发展，请看这里。

参考文献：

[1] P. Duclos and P. Exner and D. Krejcirik, Bound States in Curved Quantum Layers, Comm. Math. Phys., 223(1), 2001, 13-28.

[2] C. Lin and Z. Lu, Existence of Bound States for Layers Built over Hypersurfaces in Rⁿ⁺¹, J. Funct. Anal., 244, 2007, 1-25.

[3] Z. Lu, On the ground state of quantum layers, preprint, arXiv:0708.1563.