卡拉比－丘成桐模空间的研究涉及到好几个数学分支：微分几何，代数几何，数学物理等等。下面我们简单地介绍一下卡－丘空间的微分几何。

1。局部理论：

假设 M 是一个由 3 维卡拉比－丘成桐流形定义的模空间，维数是 m 。假设 ω 是 M 上的 Weil-Petersson 度量。在［1］中， 我们定义了

ω'=(m+3)ω+Ric(ω).

称 ω' 为霍奇度量。 这个度量有许多很好的微分几何性质。研究这个度量也是我们研究模空间的起点。

2。半整体理论：

1993 年， Bershadsky, Cecotti, Ooguri 和 Vafa 等人基于 Mirror Symmetry 提出了所谓的 BCOV 猜想。这个猜想分两部分：在镜像的一边是猜想的辛几何部分。在镜像的另一边是猜想的复几何部分。BCOV 猜想的辛几何部分由 Zinger [2] 解决了，而复几何部分由 Fang-Lu-Yoshikawa [3] 获得解决。由于在复几何部分，我们需要研究模空间在无穷远处的性质，我们称这部分结果为模空间的半整体理论。

3。整体理论：

与物理学家 Douglas 合作，我们在 [4] 中证明了模空间 陈-Weil 形式的高斯－博涅型定理。作为一个物理应用，我们可以证明，在一定的假设下，可以组成宇宙的卡－丘 3 维流形的个数是有限的。

4。特殊凯勒流形：

特殊凯勒流形是卡－丘模空间的对偶。在［5］中，我们证明了 Freed 猜想：除了平凡的特殊凯勒流形以外，所有的特殊凯勒流形都是不完备的。

更详细的讨论请见这里 (TBA)。关于最新进展请见这里。

参考文献：

[1] Z. Lu, On the Hodge Metric of the Universal Deformation Space of Calabi-Yau Threefolds, J. Geom. Anal., vol 11(1), 2001, pp 103-118.

[2] A. Zinger, The Reduced Genus-One Gromov-Witten Invariants of Calabi-Yau Hypersurfaces, arXiv:0705.2397.

[3] H. Fang, Z. Lu, and K. Yoshikawa, Asymptotic behavior of the BCOV torsion of Calabi-Yau moduli, preprint; math/0601411.

[4] M. Douglas and Z. Lu, in preparation.

[5] Z. Lu, A Note on Special Kahler Manifolds, Math. Ann., vol 313 1999, pp 711-713.